Zobrazení a kombinatorika

Jak se z toho učit

  1. 1Části 1–4 jsou geometrie, část 5 kombinatorika. U konstrukcí si nejdřív zkus postup sám na papír, pak klikej Další krok.
  2. 2Variace a permutace máš z písemky za 1, tady je jen rychlé opakování. Nové jsou kombinace.
  3. 3Na konec ČPP nanečisto na 45 minut, s pravítkem a kružítkem. Ráno projdi Co musíš umět a Kde se chybuje.

Co musíš umět

1Vzor X → obraz X′. Samodružný bod: X = X′. Přímá × nepřímá shodnost. 2O(o): XX′ ⊥ o, střed na o. Jediná nepřímá. 3S(S): S je střed XX′. Samodružné přímky procházejí S. 4T(AB): stejná délka a směr. R(S; φ): stejná vzdálenost od S, úhel φ. 5Konstrukční úloha: jednu čáru zobraz, průsečík s druhou je hledaný bod. 6H(S; κ): |SX′| = |κ| · |SX|, pro κ < 0 na opačnou stranu. 7Záleží na pořadí? Ano: variace, permutace. Ne: kombinace. 8K(k, n) = n!k! (n − k)!. „Aspoň“ = všechno minus opak.

1Zobrazení a shodnost

Zobrazení v rovině přiřadí každému bodu X právě jeden bod X′. X je vzor, X′ obraz.

Samodružný bodzobrazí se sám na sebe: X = X′
Samodružný útvarU = U′, třeba osa v osové souměrnosti
Identitakaždý bod je samodružný

Shodné zobrazení (shodnost): obrazem každé úsečky je úsečka s ní shodná. Útvar má stejný tvar i velikost, jen se přemístí.

oABCA′B′C′

Přímá shodnost: útvar stačí posunout nebo otočit. Pořadí vrcholů se zachová.

Nepřímá shodnost: útvar se musí překlopit, oběh A → B → C se obrátí.

Nepřímá je jen osová souměrnost. Středová souměrnost, posunutí i otočení jsou přímé.

2Čtyři shodná zobrazení

Osová souměrnost O(o)

oXX′ nepřímá
Obraz bodu
XX′ ⊥ o a střed XX′ leží na ose o.
Samodružné
všechny body osy, osa, přímky kolmé k ose

Středová souměrnost S(S)

XSX′ přímá
Obraz bodu
S je střed úsečky XX′. Určí ji střed, nebo dvojice X, X′.
Samodružné
jediný bod S, všechny přímky přes S

Posunutí T(AB)

ABXX′ přímá
Obraz bodu
XX′ má stejnou délku i směr jako orientovaná úsečka AB.
Samodružné
žádný bod, přímky rovnoběžné s AB

Otočení R(S; φ)

φSXX′ přímá
Obraz bodu
|SX′| = |SX| a |∢XSX′| = φ. Kladný úhel = proti směru hodinových ručiček.
Samodružné
jediný bod S, střed otočení

Co je obrazem přímky

O(o)p ∥ o → rovnoběžka na druhé straně. p ⊥ o → sama sebe. Různoběžka → protne osu ve stejném bodě jako p.
S(S)S ∈ p → p′ = p. S ∉ p → p′ ∥ p, stejně daleko na druhé straně.
T(AB)p ∥ AB → p′ = p. Jinak p′ ∥ p: posuň jeden bod a veď rovnoběžku.
R(S; φ)p′ svírá s p úhel φ. Otoč patu kolmice z S a veď kolmici.
kružniceU všech shodností: zobraz střed, poloměr zůstane.

Které zobrazení to je?

Klikni na odpověď.

  1. Je to nepřímá shodnost.
  2. Nemá žádný samodružný bod.
  3. Otočení o 180° je totéž co…
  4. Samodružné jsou všechny přímky kolmé k jedné přímce.
  5. Samodružné jsou přímky rovnoběžné s orientovanou úsečkou.
  6. Jediný samodružný bod a samodružné jsou všechny přímky přes něj.

Souměrné útvary

Osově souměrný: U = U′ v O(o). Středově souměrný: U = U′ v S(S).

  1. Kolik os souměrnosti má čtverec?
  2. Kolik os má obdélník (ne čtverec)?
  3. Kolik os má rovnostranný trojúhelník?
  4. Kolik os má kosodélník?
  5. Kolik os má pravidelný n-úhelník?
  6. Je rovnostranný trojúhelník středově souměrný?
  7. Je kosodélník středově souměrný?

3Konstrukční úlohy pomocí zobrazení

Všechny úlohy ze skript fungují stejně:

  1. Dvě čáryHledaný bod leží na dvou čarách: na přímce a na kružnici, nebo na dvou přímkách.
  2. Zobraz jednuZobrazení vyčteš ze zadání: střed úsečky → středová, rovnoběžka a délka → posunutí, úhel a stejná vzdálenost → otočení, odraz → osová.
  3. PrůsečíkObraz první čáry protni s druhou. Počet průsečíků = počet řešení.

Osová souměrnost: nejkratší cesta (př. 80)

Body A, B leží v jedné polorovině určené přímkou p. Najdi na p bod X tak, aby |AX| + |XB| byl co nejmenší.

pABA′X

Středová souměrnost: úsečka s daným středem (př. 89)

Je dána k(S; 2 cm), přímka p a bod M. Sestroj úsečku XY se středem M, X ∈ k, Y ∈ p.

SkpMS′k′Y₁X₁Y₂X₂

Posunutí: úsečka mezi dvěma přímkami (př. 96)

Jsou dány různoběžky a, b a MN. Sestroj úsečku AB: A ∈ a, B ∈ b, |AB| = |MN|, AB ∥ MN.

abMNa′BA

Otočení: rovnoramenný trojúhelník (př. 102)

Jsou dány různoběžky p, q a bod M. Sestroj X ∈ p, Y ∈ q tak, aby |∢XMY| = 60° a |MX| = |MY|.

pqMFF′60°p′YX

Jaké zobrazení použiješ?

Další příklady ze skript. Nekresli, jen urči.

  1. Čtverec ABCD: A ∈ k, C ∈ p, střed čtverce je M. (př. 90)
  2. Úsečka XY: X ∈ k1, Y ∈ k2, XY ∥ S1S2, |XY| = ½|S1S2|. (př. 97)
  3. Čtverec ABCD: A = M, B ∈ k, D ∈ p. (př. 103)
  4. Rovnostranný trojúhelník ABC: A = M, C ∈ k, B ∈ p. (př. 104)
  5. Úsečka XY: X ∈ k, Y ∈ p, XY ⊥ q, střed XY leží na q. (př. 84)
  6. Kulečník: koule A má po odrazu od mantinelu trefit B. (př. 83)

4Stejnolehlost

Homotetiestřed S, koeficient κ ≠ 0

|SX′| = |κ| · |SX|

κ > 0: X′ leží na polopřímce SX. κ < 0: na opačné polopřímce. S′ = S. Stejnolehlost je podobné zobrazení, ne shodné.

SXX′X′′κ = 2 → X′, κ = −1,5 → X″
κ > 1zvětšení
0 < κ < 1zmenšení
κ = 1identita
κ = −1středová souměrnost
κ < 0obraz na druhé straně od S

Ve stejnolehlosti platí

  • přímka a její obraz jsou rovnoběžné
  • obrazem úhlu je shodný úhel
  • |A′B′| = |κ| · |AB|
  • samodružný je jen S, samodružné přímky procházejí S
  • zpět vede H(S; 1κ)

Kružnice

Obraz k(O; r) je k′(O′; |κ| · r): zobraz střed a vynásob poloměr.

Dvě kružnice s různými poloměry (a stejně dvě rovnoběžné úsečky různé délky) mají dva středy stejnolehlosti: vnější S1 (κ > 0) a vnitřní S2 (κ < 0). Najdeš je spojením konců rovnoběžných poloměrů.

Stejnolehlost: čtverec vepsaný do trojúhelníku (př. 110)

Do ostroúhlého trojúhelníku ABC vepiš čtverec KLMN: KL ⊂ AB, M ∈ BC, N ∈ AC.

ABCK₀L₀M₀N₀MKLN

Počítej s κ

Z hlavy.

  1. Úsečka má 3 cm. Jak dlouhý je obraz v H(S; −2)?
  2. Kružnice k(O; 2 cm) v H(S; 32) má poloměr…
  3. Kde leží obraz bodu X v H(S; −12)?
  4. Kolikrát se zvětší obsah trojúhelníku v H(S; 3)?
  5. Stejnolehlost H(S; −1) je…
  6. Kolik středů stejnolehlosti mají dvě nesoustředné kružnice s různými poloměry?

Všechny příklady ze skript na stejnolehlost krok po kroku: stejnolehlost.pages.dev (z té písemky máš 1).

5Kombinatorika

Variace a permutace jsi psal za 1. Tady je rychlé opakování a to nové: kombinace.

VARIACEpořadí ano, jen k z n

V(k, n) = n!(n − k)!

medaile, funkce, čísla z cifer

PERMUTACEpořadí ano, všech n

P(n) = n!

seřazení, přesmyčky, 0! = 1

KOMBINACEpořadí ne, k z n

K(k, n) = nk

skupiny, dvojice, výběr do týmu

Dvojice z výletu (př. 23)

Milan, Anička, Klára a Tomáš. Kolik dvojic vytvoří?

MAAM
MKKM
MTTM
AKKA
ATTA
KTTK

Variace: V(2, 4) = 12, MA ≠ AMKombinace: 12 : 2! = 6, MA = AM

Kombinace = variace vydělené k!, protože každou skupinu jde seřadit k! způsoby.

Definice a vzorec

Záleží na pořadí?Prohodím dva vybrané. Je to jiná možnost? (funkce, místa, cifry → ano; skupina, tým, dvojice → ne)
ano
Beru všechny prvky?
ano
Permutacen!
ne, jen k
VariaceV(k, n)
ne
Kombinacenk

Poznej typ

Nepočítej, jen urči.

  1. Z 10 lidí vybíráš tříčlennou skupinu na úklid.
  2. Z 10 lidí volíš předsedu, místopředsedu a pokladníka.
  3. Kolik podání rukou proběhne mezi 10 lidmi?
  4. Kolika způsoby se seřadí 8 lidí do fronty?
  5. Kolika způsoby lze vsadit 6 čísel ze 49 (loterie)?
  6. Kolik trojciferných čísel s různými ciframi sestavíš z 1–9?
  7. Kolik úseček určí 8 bodů, z nichž žádné tři neleží na přímce?

Triky z příkladů 24–30

Ze dvou skupin = součin

7 mužů a 4 ženy, šestice s právě dvěma ženami: 42 · 74 = 6 · 35 = 210. Ženy vybírám zvlášť, muže zvlášť.

„Aspoň“ = všechno − opak

Deset z 20 lidí, aspoň jeden z pánů A, B: 2010 − 1810 (všechny výběry minus ty bez obou).

Body a přímky

n bodů, p z nich na jedné přímce: přímek n2 − p2 + 1, trojúhelníků n3 − p3.

Průsečíky přímek

12 přímek, 5 rovnoběžných: každé dvě se protnou, kromě rovnoběžných. 122 − 52 = 66 − 10 = 56.

Příklady ze sady (23–30)

Počítej na papír, výsledek napiš do políčka.

a) Kolika způsoby lze na šachovnici vybrat trojici políček? b) …trojici, která nejsou všechna stejné barvy? c) Ze 7 mužů a 4 žen šestice s aspoň dvěma ženami. d) Petr má 7 knih, Ivana 10. Kolika způsoby si vymění dvě za dvě? e) Z 20 lidí deset, mezi nimi nesmí být pan A. f) 10 bodů, 4 na jedné přímce, ostatní ne: kolik trojúhelníků?

Postup
  1. a643 = 64 · 63 · 623! = 41 664
  2. bVšechny minus trojice jen bílých nebo jen černých: 41 664 − 2 · 323 = 41 664 − 9 920 = 31 744
  3. cPrávě 2, 3, nebo 4 ženy: 6 · 35 + 4 · 35 + 1 · 21 = 371. Nebo doplňkem: 462 − 7 − 84.
  4. d72 · 102 = 21 · 45 = 945
  5. ePana A vyřadím, vybírám z 19: 1910 = 92 378
  6. f103 − 43 = 120 − 4 = 116. Tři body z jedné přímky trojúhelník neudělají.

Rovnice a faktoriály

Recept: kde je větší faktoriál → o kolik → rozepiš → vykrať. Nejdřív na papír, pak rozklikni.

Uprav (n + 1)!(n − 1)!

(n + 1)! = (n + 1) · n · (n − 1)!, vykrátím: n(n + 1). Podmínka n ≥ 1.

Uprav (n + 2)!n! − n!(n − 1)!

(n + 2)(n + 1) − n = n2 + 3n + 2 − n = n2 + 2n + 2.

Řeš n2 = 45

n(n − 1)2 = 45 → n2 − n − 90 = 0 → (n − 10)(n + 9) = 0, n = 10 (záporné nevyhovuje).

Př. 29a: počet čtyřčlenných kombinací je dvacetkrát větší než dvoučlenných. Kolik je prvků?

n!4! (n − 4)! = 20 · n!2! (n − 2)!. Vykrátím n! a rozepíšu (n − 2)! = (n − 2)(n − 3)(n − 4)!: (n − 2)(n − 3) = 240 = 16 · 15, n = 18.

Př. 29b: přidám jeden prvek a tříčlenných kombinací přibude 21. Kolik bylo prvků?

n + 13 − n3 = 21. Nové trojice musí obsahovat nový prvek, k němu vybírám 2 z původních: n2 = 21 → n(n − 1) = 42, n = 7.

Variace a permutace s políčky a dvě písemky nanečisto: kombinatorika.pages.dev.

6Kde se chybuje

Středová souměrnost je nepřímá.
Je přímá (otočení o 180°). Nepřímá je jen osová.
Posunutí má samodružný bod.
Žádný. Samodružné jsou jen přímky rovnoběžné s AB.
Kladný úhel otočení = po směru hodinek.
Proti směru hodinových ručiček.
Konstrukce má jedno řešení, hotovo.
Spočítej všechny průsečíky. U otočení zkus i opačný směr, u posunutí i NM.
V H(S; −2) má obraz kružnice poloměr −2r.
Poloměr je |κ| · r = 2r. Znaménko říká jen stranu.
Stejnolehlost je shodné zobrazení.
Je podobné. Shodná je jen pro κ = ±1.
Tým 3 lidí z 10: V(3, 10) = 720.
V týmu nezáleží na pořadí: 103 = 120.
„Aspoň dvě ženy“ = 42 · 94.
Tím počítáš některé skupiny vícekrát. Sečti právě 2, 3, 4, nebo odečti opak.

7ČPP nanečisto

45 minut, papír, pravítko a kružítko. Teorii a konstrukce napiš celé, pak rozklikni a ohodnoť se. Výpočty zadej do políček.

Teorie a konstrukce

U konstrukce napiš rozbor, postup a počet řešení.

Definuj středovou souměrnost. Je přímá, nebo nepřímá?

Je dán bod S. Středová souměrnost S(S) je shodné zobrazení, které každému bodu X ≠ S přiřadí bod X′ tak, že S je střed úsečky XX′, a bodu S přiřadí S′ = S. Je přímá.

Definuj otočení. Co je jeho samodružný bod?

Je dán bod S a orientovaný úhel φ. Otočení R(S; φ) přiřadí každému X ≠ S bod X′ tak, že |SX′| = |SX| a velikost orientovaného úhlu XSX′ je φ; bodu S přiřadí S. Jediný samodružný bod je střed S.

Co platí ve stejnolehlosti pro přímku a její obraz, pro úhly a pro délky?

Přímka a obraz jsou rovnoběžné, obrazem úhlu je shodný úhel, |A′B′| = |κ| · |AB|.

Je dána přímka p, kružnice k(O; 2 cm) a bod M. Sestroj všechny úsečky XY se středem M, X ∈ p, Y ∈ k.

Středová souměrnost S(M). Rozbor: Y je obraz X podle M, takže Y leží na obrazu přímky p. Postup: 1. p′ = obraz p ve S(M) (rovnoběžka stejně daleko na druhé straně). 2. Y ∈ p′ ∩ k. 3. X = obraz Y podle M. Řešení: 0, 1, nebo 2 podle počtu průsečíků p′ a k.

Je dán bod A a různoběžky p, q. Sestroj rovnostranný trojúhelník ABC, B ∈ p, C ∈ q.

Otočení R(A; ±60°). C vznikne otočením B kolem A o 60°. Postup: 1. otoč p kolem A o 60° (pata kolmice, pak kolmice) → p′. 2. C = p′ ∩ q. 3. B: otoč C zpět, nebo kružnice k(A; |AC|) ∩ p se správným úhlem. Totéž pro −60°. Obvykle 2 řešení.

Je dán bod S a kružnice k(O; 2 cm), |SO| = 4 cm. Sestroj obraz k v H(S; −12).

O′ leží na opačné polopřímce k SO, |SO′| = 12 · 4 = 2 cm (polovinu najdeš osou úsečky SO). r′ = 12 · 2 = 1 cm. Obraz je k′(O′; 1 cm).

Výpočty

Ve třídě je 14 kluků a 16 holek.

a) Kolik trojic lze vybrat z 12 lidí? b) Čtyřčlenná delegace třídy s právě dvěma holkami. c) Čtyřčlenná delegace s aspoň jednou holkou. d) Kolik čtyřciferných čísel s různými ciframi sestavíš z cifer 0–9? e) Kolika způsoby se 7 lidí postaví do řady, když A a B chtějí stát vedle sebe? f) Řeš (n + 1)!(n − 1)! = 56.

Postup
  1. a123 = 12 · 11 · 106 = 220
  2. b162 · 142 = 120 · 91 = 10 920
  3. cVšechny minus samí kluci: 304 − 144 = 27 405 − 1 001 = 26 404
  4. dPolíčka, nula nesmí na začátek: 9 · 9 · 8 · 7 = 4 536
  5. eSlep AB do jednoho: 6! · 2 = 1 440
  6. fn(n + 1) = 56 = 7 · 8, n = 7

Co nevyšlo, najdeš v příslušné části nahoře. Ve čtvrtek je hodina navíc, zeptej se tam na to, co nejde.