Zobrazení a kombinatorika

Jak na to

  1. 1Jdi shora dolů, nic nepřeskakuj. Každý krok = krátce co a proč, obrázek a procvičení. Začínáš od nuly a to je v pořádku.
  2. 2Vedle sebe měj papír, tužku, pravítko, kružítko a úhloměr. Konstrukci nejdřív zkus sám, pak klikej Další krok a porovnej.
  3. 3Na konci ČPP nanečisto na 45 minut s počítáním bodů. Jednička je od 85 %. Ráno projdi teorii a chyby.
AShodná zobrazení
kroky 1–7 · asi 80 minut BStejnolehlost
kroky 8–9 · asi 30 minut CKombinatorika
kroky 10–14 · asi 60 minut DFinále
teorie, chyby, ČPP nanečisto · asi 60 minut
AShodná zobrazení

1Co je zobrazení

Zobrazení je předpis, který každému bodu X přiřadí právě jeden bod X′. X je vzor, X′ obraz. Zapisuje se šipkou: O(o): X → X′.

Samodružný bodzobrazí se sám na sebe: X = X′
Samodružný útvarU = U′, třeba osa v osové souměrnosti
Identitakaždý bod je samodružný (nic se nehne)
Shodné zobrazeníobrazem každé úsečky je shodná úsečka: útvar se jen přemístí, tvar ani velikost se nezmění
oABCA′B′C′

Přímá shodnost: útvar stačí posunout nebo otočit. Oběh vrcholů A → B → C zůstane.

Nepřímá shodnost: útvar se musí překlopit, oběh se obrátí. To dělá jen osová souměrnost.

Pojmy

Klikni na odpověď.

  1. V zápisu X → X′ je X′…
  2. Bod, pro který platí X = X′, je…
  3. Co zachová shodné zobrazení?
  4. Útvar se musel překlopit. Shodnost je…

2Osová souměrnost O(o)

oXX′

Obraz bodu: přímka XX′ je kolmá k ose o a střed úsečky XX′ leží na ose. Rýsuješ kolmici z X na osu a za osu naneseš stejnou vzdálenost.

nepřímá Samodružné: body osy, osa, přímky kolmé k ose.

Obraz přímky v osové souměrnosti (př. 78a)

Sestroj obraz přímky p různoběžné s osou o v O(o).

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

opP = P′AA′p′

Další dva případy z př. 78

CD ∥ oobraz je rovnoběžka s osou, stejně daleko na druhé straně
EF ⊥ oobraz je ta samá přímka (samodružná), jen se překlopí

Osová souměrnost a osy útvarů

Osově souměrný útvar = osová souměrnost ho zobrazí sám na sebe.

  1. Přímka různoběžná s osou. Kde se protne se svým obrazem?
  2. Kolik os souměrnosti má čtverec?
  3. Kolik os má obdélník (ne čtverec)?
  4. Kolik os má rovnostranný trojúhelník?
  5. Kolik os má kosodélník?
  6. Kolik os má pravidelný n-úhelník?

3Středová souměrnost S(S)

XSX′

Obraz bodu: S je střed úsečky XX′. Přímka XS a za S kružítkem stejná vzdálenost.

přímá Samodružné: jediný bod S, všechny přímky procházející S. Je to otočení o 180°.

Obraz trojúhelníku ve středové souměrnosti

Sestroj obraz trojúhelníku ABC v S(S).

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

ABCSA′B′C′
Zápis do písemky
  1. S(S): A → A′, B → B′, C → C′
  2. △A′B′C′

Obraz přímky a kružnice (př. 87, 88)

S ∈ pp′ = p, přímka je samodružná
S ∉ pp′ ∥ p, stejně daleko od S na druhé straně. Stačí zobrazit jeden bod a vést rovnoběžku.
kružnicezobraz střed, poloměr zůstane. Když S = O, je k′ = k. Když S leží na k, obě kružnice se v S dotknou.

Středová souměrnost

Středově souměrný útvar = S(S) ho zobrazí sám na sebe.

  1. Přímka p neprochází středem S. Co platí pro její obraz?
  2. Přímka p prochází středem S. Co platí?
  3. Je rovnostranný trojúhelník středově souměrný?
  4. Je kosodélník středově souměrný?
  5. Středová souměrnost je shodnost…

4Posunutí T(AB)

ABXX′

Obraz bodu: orientovaná úsečka XX′ má stejnou délku i směr jako AB. Přes X rovnoběžka s AB a kružítkem |AB| ve směru šipky.

přímá Samodružné: žádný bod, jen přímky rovnoběžné s AB. T(BA) posouvá opačně.

Obraz kružnice v posunutí (př. 94)

Sestroj obraz kružnice k(O; r) v T(AB).

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

ABOkO′k′
Zápis do písemky
  1. T(AB): O → O′
  2. k′(O′; r)

Posunutí

Všechno se posune o stejný kus stejným směrem.

  1. Kolik samodružných bodů má posunutí?
  2. Přímka p ∥ AB. Její obraz v T(AB)?
  3. Přímka p není rovnoběžná s AB. Její obraz?
  4. Posunutí T(AB) posouvá o 2 cm doprava. Kam posouvá T(BA)?

5Otočení R(S; φ)

φSXX′

Obraz bodu: |SX′| = |SX| a |∢XSX′| = φ. Bod jede po kružnici kolem S. Kladný úhel = proti směru hodinových ručiček, záporný po směru.

přímá Samodružný je jediný bod, střed otočení S.

Obraz úsečky v otočení (př. 99)

Sestroj obraz úsečky XY v R(S; 60°).

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

XYS60°X′Y′
Zápis do písemky
  1. R(S; 60°): X → X′, Y → Y′
  2. úsečka X′Y′

Obraz přímky a kružnice (př. 100, 101)

přímkaZ S spusť kolmici na p (pata F). Otoč jen F a v F′ veď kolmici k SF′. To je p′. Svírá s p úhel φ.
kružniceotoč střed, poloměr zůstane

Otočení

Kladně = proti hodinkám.

  1. Kam otáčí R(S; 30°)?
  2. Otočení o 180° je totéž co…
  3. Otočení o 360° je…
  4. Co nejdřív narýsuješ, když otáčíš přímku p?

6Všechna čtyři vedle sebe

přímá?samodružné bodysamodružné přímky
O(o)nebody osyosa, kolmice k ose
S(S)anojen Spřímky přes S
T(AB)anožádnérovnoběžky s AB
R(S; φ)anojen Sžádné (kromě 180°)

U všech čtyř: kružnici zobrazíš tak, že zobrazíš střed, poloměr zůstane.

Které zobrazení to je?

Bez nápovědy, z tabulky nad tím.

  1. Je to nepřímá shodnost.
  2. Nemá žádný samodružný bod.
  3. Samodružné jsou všechny přímky kolmé k jedné přímce.
  4. Samodružné jsou přímky rovnoběžné s orientovanou úsečkou.
  5. Jediný samodružný bod a samodružné jsou všechny přímky přes něj.
  6. Obraz je stejně daleko od středu jako vzor a svírá s ním úhel 45°.

7Konstrukční úlohy

Tohle je jádro geometrie v ČPP. Všechny úlohy ze skript jdou jedním receptem:

  1. Dvě čáryHledaný bod leží na dvou čarách (přímka, kružnice). Jedna ze zadání, druhá taky.
  2. Zobraz jednuZobrazení vyčteš ze zadání: střed úsečky → středová, rovnoběžka a délka → posunutí, úhel a stejná vzdálenost → otočení, odraz, nejkratší cesta, kolmost a střed na přímce → osová.
  3. PrůsečíkObraz první čáry protni s druhou. Počet průsečíků = počet řešení. Pak dopočítej zbytek.

Do písemky piš i zápis postupu (pod každou konstrukcí ho máš) a na konec počet řešení. Za to jsou body, i když se rýsování trochu nepovede.

Středová souměrnost: úsečka s daným středem (př. 89)

Je dána k(S; 2 cm), přímka p a bod M. Sestroj úsečku XY se středem M, X ∈ k, Y ∈ p.

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

SkpMS′k′Y₁X₁Y₂X₂
Zápis do písemky
  1. k′; S(M): k → k′
  2. Y; Y ∈ k′ ∩ p
  3. X; S(M): Y → X
  4. úsečka XY, počet řešení = počet průsečíků k′ ∩ p

Posunutí: úsečka mezi dvěma přímkami (př. 96)

Jsou dány různoběžky a, b a MN. Sestroj úsečku AB: A ∈ a, B ∈ b, |AB| = |MN|, AB ∥ MN.

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

abMNa′BA
Zápis do písemky
  1. a′; T(MN): a → a′
  2. B; B ∈ a′ ∩ b
  3. A; T(NM): B → A
  4. úsečka AB, druhé řešení přes T(NM)

Otočení: rovnoramenný trojúhelník (př. 102)

Jsou dány různoběžky p, q a bod M. Sestroj X ∈ p, Y ∈ q tak, aby |∢XMY| = 60° a |MX| = |MY|.

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

pqMFF′60°p′YX
Zápis do písemky
  1. p′; R(M; −60°): p → p′
  2. Y; Y ∈ p′ ∩ q
  3. X; R(M; 60°): Y → X
  4. úsečka XY, totéž s opačným úhlem → 2 řešení

Osová souměrnost: nejkratší cesta (př. 80)

Body A, B leží v jedné polorovině určené přímkou p. Najdi na p bod X tak, aby |AX| + |XB| byl co nejmenší.

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

pABA′X
Zápis do písemky
  1. A′; O(p): A → A′
  2. X; X ∈ A′B ∩ p
  3. cesta AXB

Proč je to nejkratší (důkaz z hodiny)

  1. 1Vezmi na p jiný bod Y. Protože p je osa: |AY| = |A′Y| a |AX| = |A′X|.
  2. 2Trojúhelníková nerovnost v A′YB: |A′Y| + |YB| > |A′B| = |A′X| + |XB|.
  3. 3Takže |AY| + |YB| > |AX| + |XB|. Každá jiná cesta je delší.

Jaké zobrazení použiješ?

Další úlohy ze skript. Nekresli, jen urči podle receptu.

  1. Čtverec ABCD: A ∈ k, C ∈ p, střed čtverce je M. (př. 90)
  2. Úsečka XY: X ∈ k1, Y ∈ k2, XY ∥ S1S2, |XY| = ½|S1S2|. (př. 97)
  3. Čtverec ABCD: A = M, B ∈ k, D ∈ p. (př. 103)
  4. Rovnostranný trojúhelník ABC: A = M, C ∈ k, B ∈ p. (př. 104)
  5. Úsečka XY: X ∈ k, Y ∈ p, XY ⊥ q, střed XY leží na q. (př. 84)
  6. Kulečník: koule A má po odrazu od mantinelu trefit kouli B. (př. 83)
  7. Trojúhelník ABC s danou těžnicí ta, stranou b a úhlem β. (př. 91)
  8. Lichoběžník ABCD ze čtyř stran a, b, c, d. (př. 98)
BStejnolehlost

8Stejnolehlost H(S; κ)

Stejnolehlost (homotetie) útvar zvětší nebo zmenší ze středu S. Není shodná, je podobná: zachová tvar, ne velikost. κ (kappa) je koeficient, κ ≠ 0.

|SX′| = |κ| · |SX|

κ > 0: X′ leží na polopřímce SX. κ < 0: na opačné polopřímce (přes S na druhou stranu).

SXX′X′′κ = 2 → X′, κ = −1,5 → X″
κ > 1zvětšení
0 < κ < 1zmenšení
κ = 1identita
κ = −1středová souměrnost
κ < 0obraz na druhé straně od S

Obraz bodu ve stejnolehlosti (př. 105)

Sestroj obraz bodu X a) v H(S; 2), b) v H(S; −½).

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

SXX′κ = 2X′′κ = −½

Co platí ve stejnolehlosti

Obraz kružnice ve stejnolehlosti (př. 108b)

Je dán bod S a k(O; 2 cm). Sestroj obraz k v H(S; −2).

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

OkSO′k′
Zápis do písemky
  1. H(S; −2): O → O′
  2. r′ = |−2| · 2 = 4 cm
  3. k′(O′; 4 cm)

Počítej s κ

Z hlavy. Délky násobíš |κ|.

  1. Úsečka má 3 cm. Jak dlouhý je obraz v H(S; −2)?
  2. Kružnice k(O; 2 cm) v H(S; 32) má poloměr…
  3. Kde leží obraz bodu X v H(S; −12)?
  4. V H(S; 12) je |SX| = 2 cm. Kolik je |SX′|?
  5. Kolikrát se zvětší obsah trojúhelníku v H(S; 3)?
  6. Stejnolehlost H(S; −1) je…

9Střed stejnolehlosti a vepsaný čtverec

Střed stejnolehlosti dvou kružnic (př. 109)

Jsou dány kružnice k1, k2 s různými poloměry. Sestroj střed stejnolehlosti, která zobrazí k1 na k2.

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

O₁O₂k₁k₂S₁vnějšíS₂vnitřní

Stejně u dvou rovnoběžných úseček AB ∥ XY (př. 107): spojnice AX a BY se protnou ve vnějším středu, AY a BX ve vnitřním. Obráceně: H(S; κ) vrací H(S; 1κ).

Typická úloha na stejnolehlost: útvar se do zadání „nevejde“. Nakreslíš libovolně malý, který splní všechno kromě jedné podmínky, a pak ho stejnolehlostí zvětšíš.

Stejnolehlost: čtverec vepsaný do trojúhelníku (př. 110)

Do ostroúhlého trojúhelníku ABC vepiš čtverec KLMN: KL ⊂ AB, M ∈ BC, N ∈ AC.

Nejdřív to zkus na papír, pak klikej Další krok.

ABCK₀L₀M₀N₀MKLN
Zápis do písemky
  1. pomocný čtverec K0L0M0N0
  2. M; M ∈ ↦AM0 ∩ BC
  3. H(A; κ): K0L0M0N0 → KLMN
  4. čtverec KLMN

Středy stejnolehlosti

Vnější = stejný směr, vnitřní = opačný.

  1. Kolik středů stejnolehlosti mají dvě kružnice s různými poloměry a různými středy?
  2. Jaké κ patří k vnitřnímu středu?
  3. Kde leží oba středy stejnolehlosti dvou kružnic?
  4. Kružnice s poloměry 6 cm a 3 cm. Jaké κ má stejnolehlost s vnějším středem, která zobrazí větší na menší?
  5. Čtverec vepsaný do trojúhelníku (př. 110) se řeší pomocí…
CKombinatorika

10Políčka: krát, nebo plus

Kombinatorika se ptá vždy na totéž: kolika způsoby? Nakresli políčka, jedno za každé rozhodnutí, do každého napiš, kolik možností zbývá, a vynásob.

Př. 8 z hodiny: 8 běžců na stupně vítězů

81. místo·72. místo·63. místo=336

Kdo vyhrál, na 2. místě být nemůže, proto čísla klesají.

„A zároveň“ → krát

Pravidlo součinu. Kroky jdou po sobě: tričko a k němu kalhoty, cesta tam a zpět.

„Nebo“ → plus

Pravidlo součtu. Možnosti se vylučují: buď dívka, nebo kluk. Uvnitř větve násobíš, větve sčítáš.

Podmínka jde první

Políčko s podmínkou vyplň jako první. Trojciferná čísla s různými ciframi: 9 · 9 · 8 = 648 (na začátku nesmí být 0).

„Aspoň“ → doplněk

Všechny − ty, kde to nenastane vůbec. 4 cesty a lanovka, nahoru a dolů, aspoň jednou lanovkou: 5 · 5 − 4 · 4 = 9.

Políčka

Kolik políček, co do nich, krát, nebo plus.

  1. 4 trička a 3 kraťasy. Kolik různých oblečení?
  2. 17 dívek a 13 kluků. Kolika způsoby vyberete jednoho zástupce?
  3. 12 dívek a 10 chlapců. Kolika způsoby vyberete dvojici dívka + chlapec?
  4. Kolik je všech trojciferných čísel?
  5. Červená a modrá kostka. Kolik výsledků obsahuje aspoň jednu šestku?

11Variace a permutace

VARIACEvyber k z n, záleží na pořadí

V(k, n) = n!(n − k)!

k políček od n dolů: V(3, 8) = 8 · 7 · 6 = 336. Medaile, funkce, různé cifry.

PERMUTACEseřaď všech n

P(n) = n!

n! = n · (n − 1) · … · 1, 0! = 1. 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.

„Vedle sebe“ = blok

Slep je do jednoho prvku, pak řaď. Uvnitř bloku 2 pořadí. 6 lidí, A, B vedle sebe: 2 · 5! = 240.

„Někdy po“ = polovina

A mluví kdykoli po E: přesně polovina všech pořadí, 6! : 2 = 360.

Na kraji

Vyber kraj (2), zbytek seřaď: 2 · (n − 1)!. Pro 5 lidí 2 · 4! = 48.

Nesmí vedle sebe

Doplněk: n! − 2 · (n − 1)!. Pro 4 lidi 24 − 12 = 12.

Variace a permutace

Políčka, blok, polovina, doplněk.

  1. Kolik je V(3, 10)?
  2. Z 20 členů se volí předseda a místopředseda. Kolika způsoby?
  3. Kolika způsoby seřadíš 5 různých knih na polici?
  4. Kolik trojciferných čísel z cifer 1–5 bez opakování je dělitelných pěti?
  5. 7 lidí do řady, A a B chtějí stát vedle sebe. Kolika způsoby?
  6. Kolik je 8!6!?

12Kombinace: na pořadí nezáleží

Nové učivo. Kombinace = vybíráš skupinu k prvků z n a na pořadí nezáleží: tým, komise, dvojice, čísla v loterii.

Dvojice z výletu (př. 23)

Milan, Anička, Klára a Tomáš. Kolik dvojic vytvoří?

MAAM
MKKM
MTTM
AKKA
ATTA
KTTK

S pořadím (variace): 4 · 3 = 12Bez pořadí: 12 : 2 = 6, protože MA = AM

Kombinace = variace vydělené k!. Každou skupinu jde seřadit k! způsoby a všechna ta pořadí jsou teď jedna možnost.

K(k, n) = nk = n!k! · (n − k)!

Čte se „n nad k“ (kombinační číslo). Z hlavy: nahoru k činitelů od n dolů, dolů k!:

103 = 10 · 9 · 83 · 2 · 1 = 120

Záleží na pořadí?Prohoď dva vybrané. Je to jiná možnost? Funkce, místa, cifry → ano. Skupina, tým, dvojice → ne.
ano
Beru všechny prvky?
ano
Permutacen!
ne, jen k
VariaceV(k, n)
ne
Kombinacenk

Poznej typ

Nepočítej, jen urči.

  1. Z 10 lidí vybíráš tříčlennou skupinu na úklid.
  2. Z 10 lidí volíš předsedu, místopředsedu a pokladníka.
  3. Kolik podání rukou proběhne mezi 10 lidmi?
  4. Kolika způsoby se seřadí 8 lidí do fronty?
  5. Kolika způsoby lze vsadit 6 čísel ze 49?
  6. Kolik trojciferných čísel s různými ciframi sestavíš z cifer 1–9?
  7. Kolik úseček určí 8 bodů, z nichž žádné tři neleží na přímce?

Spočítej kombinační číslo

Nahoru k činitelů od n, dolů k!

  1. Kolik je 52?
  2. Kolik je 63?
  3. Kolik je 75?
  4. 10 lidí si podá ruku každý s každým. Kolik podání?
  5. Kolik úseček určí 8 bodů (žádné tři na přímce)?
  6. Kolika způsoby vybereš z 10 lidí tříčlenný tým?

13Kombinace v úlohách ze sady

Ze dvou skupin = součin

Př. 25a: 7 mužů a 4 ženy, šestice s právě dvěma ženami. Ženy zvlášť a zároveň muži zvlášť: 42 · 74 = 6 · 35 = 210.

„Aspoň“ = všechno − opak

Př. 25b: aspoň dvě ženy = všechny šestice − (0 žen) − (1 žena): 462 − 7 − 4 · 21 = 371.

Někdo nesmí / musí

Př. 28: 10 z 20 lidí. Bez pana A: vyřaď ho, 1910. Aspoň jeden z A, B: 2010 − 1810.

Body a přímky

Př. 26: n bodů, p na jedné přímce. Přímek n2 − p2 + 1, trojúhelníků n3 − p3. Př. 30: průsečíky 12 přímek, 5 rovnoběžných: 122 − 52 = 56.

Spočítej na papír

Výsledek napiš do políčka a zkontroluj.

a) Z 5 kluků a 4 holek vyber trojici s právě jednou holkou. b) …s aspoň jednou holkou. c) Petr má 7 knih, Ivana 10. Kolika způsoby si vymění dvě své knihy za dvě Ivaniny? (př. 27) d) 10 bodů, 4 z nich na jedné přímce, jinak žádné tři na přímce. Kolik trojúhelníků určují? e) Kolik přímek určují? f) Kolika způsoby lze z 12 lidí vybrat čtyřčlennou hlídku?

Postup
  1. aHolka a zároveň dva kluci: 4 · 52 = 4 · 10 = 40
  2. bVšechny trojice − samí kluci: 93 − 53 = 84 − 10 = 74
  3. c72 · 102 = 21 · 45 = 945
  4. d103 − 43 = 120 − 4 = 116. Tři body z jedné přímky trojúhelník neudělají.
  5. e102 − 42 + 1 = 45 − 6 + 1 = 40. Šest dvojic na jedné přímce dává jedinou přímku.
  6. f124 = 12 · 11 · 10 · 924 = 495

14Faktoriály a rovnice

Tady jsi minule nejvíc váhal, tak pomalu. Jeden recept na všechno:

  1. 1Podmínka: pod faktoriálem nesmí být záporné číslo, v nk musí být n ≥ k.
  2. 2Větší faktoriál rozepiš jen tak daleko, až narazíš na ten menší: (n + 1)! = (n + 1) · n · (n − 1)!
  3. 3Vykrať, vyřeš, a když vyjde kvadratická rovnice, hledej dvě sousední čísla se správným součinem.
  4. 4Zkontroluj podmínku a zahoď záporné kořeny.

Dva řešené příklady

Uprav (n + 1)!(n − 1)!

  1. Podmínka: n − 1 ≥ 0, tedy n ≥ 1.
  2. (n + 1) · n · (n − 1)!(n − 1)! = n(n + 1)

Řeš n2 = 45

  1. Podmínka n ≥ 2. Rozepiš: n(n − 1)2 = 45, tedy n(n − 1) = 90.
  2. Sousední čísla se součinem 90: 10 · 9. Nebo n² − n − 90 = 0, (n − 10)(n + 9) = 0.
  3. n = 10, kořen −9 podmínku nesplní.

Faktoriály

Rozepiš větší, vykrať.

  1. Kolik je 10!8!?
  2. Uprav (n + 1)!n!.
  3. Uprav n!(n − 2)!.
  4. Jaká je podmínka u n3?
  5. Řeš n2 = 28.
  6. Řeš (n + 2)!n! = 30.
  7. Řeš V(2, n) = 56.

Na papír

Delší, jako v písemce. Spočítej, pak rozklikni.

Uprav (n + 2)!n! − n!(n − 1)!

Podmínka n ≥ 1. První zlomek: (n + 2)(n + 1), druhý: n.

n² + 3n + 2 − n = n² + 2n + 2

Řeš (n + 1)!(n − 1)! = 56

Podmínka n ≥ 1. n(n + 1) = 56 = 7 · 8, tedy n = 7.

Řeš (n − 1)!(n − 3)! = 12

Podmínka n ≥ 3. (n − 1)(n − 2) = 12 = 4 · 3, takže n − 1 = 4, n = 5.

Př. 29a: čtyřčlenných kombinací je dvacetkrát víc než dvoučlenných. Kolik je prvků?

n4 = 20 · n2, podmínka n ≥ 4.

n(n − 1)(n − 2)(n − 3)24 = 20 · n(n − 1)2. Vykrať n(n − 1) a vynásob 24:

(n − 2)(n − 3) = 240 = 16 · 15, tedy n = 18.

Př. 29b: přidám jeden prvek a tříčlenných kombinací přibude 21. Kolik bylo prvků?

n + 13 − n3 = 21. Nové trojice obsahují nový prvek a k němu 2 z původních n:

n2 = 21, n(n − 1) = 42 = 7 · 6, n = 7.

Řeš V(3, n) = 6 · n2

Podmínka n ≥ 3. n(n − 1)(n − 2) = 6 · n(n − 1)2 = 3n(n − 1).

Vykrať n(n − 1): n − 2 = 3, n = 5.

DFinále

15Teorie na začátek písemky

Pan Stolařík dává na začátek trochu teorie. Řekni si definici nahlas nebo ji napiš, pak rozklikni a ohodnoť se. Ráno projdi jen ty k zopakování.

Definice

Stačí vlastními slovy, ale přesně.

Co je zobrazení a co shodné zobrazení?

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřadí právě jeden bod X′. Shodné zobrazení: obrazem každé úsečky je úsečka s ní shodná. Přímá shodnost = útvar jen posuneme nebo otočíme, nepřímá = musíme ho překlopit.

Definuj osovou souměrnost O(o).

Je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o přiřazuje každému bodu X ∉ o bod X′ tak, že přímka XX′ je kolmá k o a střed úsečky XX′ leží na o. Každému bodu X ∈ o přiřadí X′ = X. Je to nepřímá shodnost.

Definuj středovou souměrnost S(S).

Je dán bod S. Středová souměrnost přiřazuje každému bodu X ≠ S bod X′ tak, že S je střed úsečky XX′, a bodu S bod S′ = S. Je to přímá shodnost, jediný samodružný bod je S.

Definuj posunutí T(AB).

Je dána nenulová orientovaná úsečka AB. Posunutí (translace) přiřadí každému bodu X bod X′ tak, že orientované úsečky XX′ a AB mají stejnou délku a stejný směr. Přímá shodnost, žádný samodružný bod, samodružné jsou přímky rovnoběžné s AB.

Definuj otočení R(S; φ).

Je dán bod S a orientovaný úhel φ. Otočení (rotace) přiřazuje každému bodu X ≠ S bod X′ tak, že |SX′| = |SX| a velikost orientovaného úhlu XSX′ je φ. Bodu S přiřadí S′ = S. Přímá shodnost, jediný samodružný bod je střed otočení. Kladný smysl = proti směru hodinových ručiček.

Definuj stejnolehlost H(S; κ).

Je dán bod S a reálné číslo κ ≠ 0. Stejnolehlost přiřazuje každému bodu X ≠ S bod X′ tak, že |SX′| = |κ| · |SX|; pro κ > 0 leží X′ na polopřímce SX, pro κ < 0 na polopřímce opačné. Bodu S přiřadí S′ = S. Je to podobné zobrazení. κ = 1 identita, κ = −1 středová souměrnost.

Vyslov pravidlo součtu a pravidlo součinu.

Součtu: jsou-li množiny A1, …, An s p1, …, pn prvky po dvou disjunktní, má jejich sjednocení p1 + … + pn prvků. Součinu: počet uspořádaných k-tic, kde 1. člen lze vybrat n1 způsoby, 2. člen po výběru prvního n2 způsoby atd., je n1 · n2 · … · nk.

Definuj variaci, permutaci a kombinaci.

Variace k-té třídy z n prvků: uspořádaná k-tice, každý prvek nejvýše jednou. V(k, n) = n!(n − k)!.

Permutace z n prvků: variace n-té třídy (seřazení všech). P(n) = n!

Kombinace k-té třídy z n prvků: neuspořádaná k-tice (skupina) navzájem různých prvků. K(k, n) = nk = n!k! (n − k)!.

16Kde se ztrácí body

Středová souměrnost je nepřímá.
Je přímá. Nepřímá je jen osová.
Kladný úhel otočení = po směru hodinek.
Proti směru hodinových ručiček.
Našel jsem jedno řešení, hotovo.
Spočítej všechny průsečíky. U otočení zkus i opačný směr, u posunutí i T(NM). Napiš počet řešení.
V H(S; −2) má obraz kružnice poloměr −2r.
Poloměr je |κ| · r = 2r. Znaménko říká jen stranu.
Tým 3 lidí z 10: V(3, 10) = 720.
V týmu nezáleží na pořadí: 103 = 120.
„Aspoň jedna holka“ = holka · zbytek.
Tak počítáš skupiny vícekrát. Všechny − žádná holka.
Číslo může začínat nulou.
První cifra má jen 9 možností. Podmínka jde první.
Rovnice bez podmínky.
Napiš n ≥ … na začátek a na konci zahoď záporné kořeny.

17ČPP nanečisto

45 minut, papír, pravítko, kružítko, úhloměr. Trošku od všeho jako v pátek. Piš celé, pak rozklikni a ohodnoť: Umím jen když máš všechno správně. Výpočty zadej do políček. Body se sčítají dole.

Teorie a geometrie

12 bodů. U konstrukce zápis postupu a počet řešení.

2 b Definuj otočení. Je to přímá, nebo nepřímá shodnost? Jaké má samodružné body?

Je dán bod S a orientovaný úhel φ. R(S; φ) přiřadí každému X ≠ S bod X′, že |SX′| = |SX| a orientovaný úhel XSX′ má velikost φ; S′ = S. Přímá, samodružný je jen střed S.

2 b Rozhodni a zdůvodni: a) Posunutí má aspoň jeden samodružný bod. b) H(S; −1) je středová souměrnost.

a) Neplatí, každý bod se posune o |AB| ≠ 0. Samodružné jsou jen přímky rovnoběžné s AB.

b) Platí: |SX′| = |SX| na opačné polopřímce, takže S je střed XX′.

2 b Narýsuj trojúhelník ABC a bod S mimo něj. Sestroj jeho obraz v R(S; −90°).

Každý vrchol zvlášť: spoj se S, úhloměrem 90° po směru hodinek (minus!), kružítkem stejná vzdálenost od S. Spoj A′B′C′. Kontrola: SA ⊥ SA′ a obraz je shodný trojúhelník, nepřeklopený.

4 b Je dána k(O; 2 cm), bod M, |OM| = 4 cm, a přímka p ⊥ OM, která leží 2,5 cm od M na opačné straně než O. Sestroj všechny čtverce ABCD: A ∈ k, C ∈ p, střed čtverce je M.

Středová souměrnost S(M), protože M je střed úhlopříčky AC.

1. S(M): k → k′ 2. C ∈ k′ ∩ p 3. S(M): C → A 4. kolmice k AC přes M, na ní B, D ve vzdálenosti |MA| 5. čtverec ABCD.

Tady je O′ 4 cm za M, tedy 1,5 cm za přímkou p. k′ má poloměr 2 cm, protne p ve dvou bodech: 2 řešení. Celé krok po kroku je pod body.

2 b Je dána k(O; 1,5 cm) a bod S, |SO| = 4 cm. Sestroj obraz k v H(S; −½).

O′ na opačné polopřímce k SO, |SO′| = ½ · 4 = 2 cm. Poloměr r′ = ½ · 1,5 = 0,75 cm. Obraz k′(O′; 0,75 cm).

Kombinatorika

8 bodů, každé políčko 1 bod.

a) Kolika způsoby lze z 12 lidí vybrat tříčlennou komisi? b) …předsedu, místopředsedu a pokladníka? c) Ve třídě je 14 kluků a 16 holek. Kolik je čtyřčlenných delegací s právě dvěma holkami? d) Kolik čtyřciferných čísel s různými ciframi sestavíš z cifer 0–9? e) 7 lidí do řady, A a B vedle sebe. f) Z 5 kluků a 4 holek trojice s aspoň jednou holkou. g) Řeš n2 = 36. h) Uprav (n + 1)!(n − 1)! − n² a dosaď n = 5.

Postup
  1. aKomise, pořadí nezáleží: 123 = 12 · 11 · 106 = 220
  2. bFunkce, pořadí záleží: V(3, 12) = 12 · 11 · 10 = 1 320
  3. c162 · 142 = 120 · 91 = 10 920
  4. dNula nesmí na začátek: 9 · 9 · 8 · 7 = 4 536
  5. eBlok AB: 2 · 6! = 1 440
  6. f93 − 53 = 84 − 10 = 74
  7. gn ≥ 2, n(n − 1) = 72 = 9 · 8 n = 9
  8. hn(n + 1) − n² = n, pro n = 5 = 5. Podmínka n ≥ 1.
0z 20 bodů

Ohodnoť geometrii (Umím) a zkontroluj výpočty.

Stolaříkova stupnice: 85 % a víc = 1, 70 % = 2, 50 % = 3, 30 % = 4. Přesně na hranici je mínus: 17 bodů = 85 % = 1−, od 18 bodů čistá 1.

Řešení: čtverec se středem M (př. 90)

Je dána k(O; 2 cm), bod M a přímka p. Sestroj všechny čtverce ABCD: A ∈ k, C ∈ p, střed čtverce je M.

OkpMO′k′C₁C₂A₁B₁D₁
Zápis do písemky
  1. S(M): k → k′
  2. C; C ∈ k′ ∩ p
  3. A; S(M): C → A
  4. q; q ⊥ AC, M ∈ q
  5. B, D; B, D ∈ q ∩ l(M; |MA|)
  6. čtverec ABCD

Co nevyšlo, najdeš v příslušném kroku nahoře. Ráno: teorie (jen k zopakování), chyby a jedna konstrukce na papír. Držím palce.